Знак не пересекаются


Таблица знаков в геометрии и их значения: пересечение, подобие

Знак Название Значение/описание Пример
угол фигура, состоящая из двух лучей и вершины ∠ABC = 30°
острый угол угол от 0 до 90 градусов ∠AOB = 60°
прямой угол угол, равный 90 граусам ∠AOB = 90°
тупой угол угол от 90 до 180 градусов ∠AOB = 120°
развернутый угол угол, равный 180 градусам ∠AOB = 180°
°
(или deg)
градус единица измерения угла, равна 1/360 окружности 45°
минута единици измерения угла,
1° = 60′
α = 70°59′
секунда единици измерения угла,
1′ = 60″
α = 70°59′59″
линия бесконечная прямая без начала и конца
отрезок участок на прямой между точками A и B
луч бесконечная прямая, имеющая начало в точке A, но не имеющая конца
дуга дуга, образованная между точками A и B
перпендикулярность линии (прямые), расположенные под углом 90° по отношению друг к другу AC ⊥ BC
параллельность непересекающиеся прямые (линии) AB ∥ CD
пересечение множество одинаковых элементов, принадлежащих как множеству A, так и B A ∩ B
∈ / ∉ принадлежность/
непринадлежность
элемент является/не является элементом заданного множества a ∈ S
конгуэнтность эквивалентность геометрических форм и размеров ∆ABC ≅ ∆XYZ
~ подобие та же форма, но разные размеры ∆ABC ~ ∆XYZ
Δ треугольник фигура треугольника ΔABC ≅ ΔBCD
|x-y| дистанция дистанция между точками X и Y | x-y | = 5
π константа "Пи" отношение длины окружности к диаметру круга,
c = π⋅d = 2⋅π⋅r
π = 3.141592654...
рад (rad) или c радиан единица измерения угла 360° = 2π c

microexcel.ru

Пересечение множеств — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пересечение A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B}

Пересече́ние мно́жеств в теории множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Пересечение двух множеств A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B} обычно обозначается A∩B{\displaystyle A\cap B}, но в редких случаях может обозначаться AB{\displaystyle AB}[1].

Пересечение двух множеств[править | править код]

Пусть даны множества A{\displaystyle A} и B{\displaystyle B}. Тогда их пересечением называется множество

A∩B={x∣x∈A∧x∈B}.{\displaystyle A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}.}

Пересечение семейства множеств[править | править код]

Пусть дано семейство множеств {Mα}α∈A.{\displaystyle \{M_{\alpha }\}_{\alpha \in A}.} Тогда его пересечением называется множество, состоящее из элементов, которые входят во все множества семейства:

⋂α∈AMα={x∣∀α∈A,x∈Mα}.{\displaystyle \bigcap \limits _{\alpha \in A}M_{\alpha }=\{x\mid \forall \alpha \in A,\;x\in M_{\alpha }\}.}

Пусть A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}.{\displaystyle A=\{1,\;2,\;3,\;4\},\;B=\{3,\;4,\;5,\;6\}.} Тогда

A∩B={3,4}.{\displaystyle A\cap B=\{3,\;4\}.}

ru.wikipedia.org

Знак равенства — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Символы со сходным начертанием:  ·  ·  ·
Знак равенства
=

Изображение

equals sign
Юникод U+003D
HTML-код  или 
UTF-16 0x3D
%3D

Знак равенства (=) в математике, в логике и других точных науках — символ, который пишется между двумя идентичными по своему значению выражениями.

Знак равенства в современной форме создал математик Роберт Рекорд (Robert Recorde, 1510—1558) в своём труде The Whetstone of Witte (1557). Он обосновал применение двух параллельных штрихов так (орфография оригинала — ранненовоанглийский): «…bicause noe 2 thynges can be moare equalle», то есть «никакие другие две вещи не могут быть более равными». До этого в античной и средневековой математике равенство обозначалось словесно (например est egale). Рене Декарт в XVII веке при записи стал использовать æ (от лат. aequalis), а современный знак равенства он использовал, чтобы указать, что коэффициент может быть отрицательным. Франсуа Виет знаком равенства обозначал вычитание. Символ Рекорда получил распространение далеко не сразу. В континентальной Европе знак «=» был введён Лейбницем только на рубеже XVII—XVIII веков, то есть более чем через 100 лет после смерти впервые использовавшего его для этого Роберта Рекорда.

Таблица математических знаков (символов) эквивалентности с кодами Unicode[править | править код]

Необходимо добавить символы:
1. равенства с точностью до зеркального подобия,
2. равенства «почти всюду»

В языках программирования символ = чаще всего используется для операций сравнения и/или присваивания. В некоторых языках (например, Basic) символ используется для обеих операций, в зависимости от контекста. В языках C, PHP и т. п. = обозначает присваивание, равенство записывается как ==. В Perl, кроме того, операторы для сравнения строк отличаются от операторов для сравнения чисел, равенство строк проверяет eq. В Pascal, напротив, = обозначает равенство, присваивание обозначается :=.

  • Плюс (+)
  • Минус ()
  • Знак умножения (· или ×)
  • Знак деления (: или /)
  • Обелюс (÷)
  • Знак корня ()
  • Факториал (!)
  • Знак интеграла ()
  • Набла ()
  • Знак равенства (=, , и др.)
  • Знаки неравенства (, >, < и др.)
  • Пропорциональность ()
  • Скобки (( ), [ ], ⌈ ⌉, ⌊ ⌋, { }, ⟨ ⟩)
  • Вертикальная черта (|)
  • Косая черта, слеш (/)
  • Обратная косая черта, бэкслеш (\)
  • Знак бесконечности ()
  • Знак градуса (°)
  • Штрих (, , , )
  • Звёздочка (*)
  • Процент (%)
  • Промилле ()
  • Тильда (~)
  • Карет (^)
  • Циркумфлекс (ˆ)
  • Плюс-минус (±)
  • Знак минус-плюс ()
  • Десятичный разделитель (, или .)
  • Символ конца доказательства ()

ru.wikipedia.org

Ø — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Буква латиницы O с диагональным штрихом
Øø

Изображение

Ø: latin capital letter o with stroke
ø: latin small letter o with stroke
Юникод Ø: U+00D8
ø: U+00F8
HTML-код Ø‎:  или 
ø‎:  или 
UTF-16 Ø‎: 0xD8
ø‎: 0xF8
Ø: %C3%98
ø: %C3%B8
Мнемоника Ø&Oslash;
ø&oslash;
Символы со сходным начертанием:  ·

Ø, ø (O с диагональным штрихом) — буква расширенной латиницы, используемая в датском, норвежском и фарерском алфавитах для передачи огублённого гласного переднего ряда средне-верхнего подъёма. Также ранее использовалась в Юнифоне для английского языка[1].

Для более точной фонетической передачи французского eu, немецкого ö, скандинавского ø (которые не подразумевают смягчения согласных) в начале XX века предлагался вариант транслитерации на русский язык при помощи буквы Ӭ.

ru.wikipedia.org

Подскажите, как выглядит знак пересечения в алгебре (7 класс)?

откуда в алгебре пересечение? это в геометрии. как крестик Х. а может, так U?

В виде подковы

дуга <img src="//content.foto.my.mail.ru/mail/happy-lena89/_answers/i-305.jpg" >

как подкова (концы вниз) или буква "U" перевёрнутая

ну такая дуга вообщем тебе уже ответели и правильно

П - знак операции пересечения множеств

Ну по-моему нормально! По моем вот-так U

<img src="//content.foto.my.mail.ru/mail/arwin85/_answers/i-1456.jpg" >

∩ - пересечение u - объединение <a rel="nofollow" href="https://ru.wikipedia.org/wiki/Таблица_математических_символов" target="_blank">https://ru.wikipedia.org/wiki/Таблица_математических_символов</a>

∩ - знак пересечения

при чем тут алгебра??

если не ошибаюсь то вот так U только перевернутая.

touch.otvet.mail.ru

Параллельные прямые — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Паралле́льные прямы́е (от греч. παράλληλος, буквально — идущий рядом) — в планиметрии прямые, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали в обе стороны.

На чертежах параллельные линии выделяются одинаково направленными стрелками.

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются[1]. В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными[2][3].

Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности[4].

Параллельность прямых m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} обычно обозначается:

m∥n{\displaystyle m\parallel n}

Свойства[править | править код]

Построение параллельных прямых[править | править код]

В стереометрии[править | править код]

В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.

Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые равнобежны (асимптотически параллельны) синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку C{\displaystyle C} вне данной прямой AB{\displaystyle AB} проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих AB{\displaystyle AB}. Прямая CE{\displaystyle CE} называется равнобежной прямой AB{\displaystyle AB} в направлении от A{\displaystyle A} к B{\displaystyle B}, если:

  1. точки B{\displaystyle B} и E{\displaystyle E} лежат по одну сторону от прямой AC{\displaystyle AC};
  2. прямая CE{\displaystyle CE} не пересекает прямую AB{\displaystyle AB}, но всякий луч, проходящий внутри угла ACE{\displaystyle ACE}, пересекает луч AB{\displaystyle AB}.

Аналогично определяется прямая, равнобежная AB{\displaystyle AB} в направлении от B{\displaystyle B} к A{\displaystyle A}.

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися[5].

Свойства[править | править код]

Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.

Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.

ru.wikipedia.org

Перпендикулярность — Википедия

Перпендикуля́рность — бинарное отношение между различными объектами (векторами, прямыми, подпространствами и т. д.).

Для обозначения перпендикулярности имеется общепринятый символ: ⊥{\displaystyle \perp }, предложенный в 1634 году французским математиком Пьером Эригоном. Например, перпендикулярность прямых m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} записывают как m⊥n{\displaystyle m\perp n}.

Перпендикулярные прямые на плоскости[править | править код]

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

Про прямую m{\displaystyle m} перпендикулярную к прямой ℓ{\displaystyle \ell } проведённую через точку P{\displaystyle P} вне прямой ℓ{\displaystyle \ell }, говорят, что m{\displaystyle m} есть перпендикуляр опущенный из P{\displaystyle P} на ℓ{\displaystyle \ell }. Если же точка P{\displaystyle P} лежит на прямой ℓ{\displaystyle \ell }, то говорят, что m{\displaystyle m} есть перпендикуляр к восстановленный из P{\displaystyle P} к ℓ{\displaystyle \ell } (устаревший термин восставленный[1]).

В координатах[править | править код]

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями

y=a⋅x+b{\displaystyle y=a\cdot x+b}

и

y=k⋅x+m{\displaystyle y=k\cdot x+m}

будут перпендикулярны, если выполнено следующее условие на их угловые коэффициенты

a⋅k=−1.{\displaystyle a\cdot k=-1.}

Построение перпендикуляра[править | править код]

Построение перпендикуляра

Шаг 1: С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.

Шаг 2: Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A и В соответственно, проходящими через точку P. Кроме точки P есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: Соединяем точки P и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой AB.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямой[править | править код]

Пусть прямая задаётся точками A(xa,ya){\displaystyle A(x_{a},y_{a})} и B(xb,yb){\displaystyle B(x_{b},y_{b})}. На прямую опускается перпендикуляр из точки P(xp,yp){\displaystyle P(x_{p},y_{p})}. Тогда основание перпендикуляра O(xo,yo){\displaystyle O(x_{o},y_{o})} можно найти следующим образом.

Если xa=xb{\displaystyle x_{a}=x_{b}} (вертикаль), то xo=xa{\displaystyle x_{o}=x_{a}} и yo=yp{\displaystyle y_{o}=y_{p}}. Если ya=yb{\displaystyle y_{a}=y_{b}} (горизонталь), то xo=xp{\displaystyle x_{o}=x_{p}} и yo=ya{\displaystyle y_{o}=y_{a}}.

Во всех остальных случаях:

xo=xa⋅(yb−ya)2+xp⋅(xb−xa)2+(xb−xa)⋅(yb−ya)⋅(yp−ya)(yb−ya)2+(xb−xa)2{\displaystyle x_{o}={\frac {x_{a}\cdot (y_{b}-y_{a})^{2}+x_{p}\cdot (x_{b}-x_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})\cdot (y_{b}-y_{a})\cdot (y_{p}-y_{a})}{(y_{b}-y_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})^{2}}}};
yo=(xb−xa)⋅(xp−xo)(yb−ya)+yp{\displaystyle y_{o}={\frac {(x_{b}-x_{a})\cdot (x_{p}-x_{o})}{(y_{b}-y_{a})}}+y_{p}}.

Перпендикулярные прямые[править | править код]

Две прямые в пространстве перпендикулярны друг другу, если они соответственно параллельны некоторым двум другим взаимно перпендикулярным прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые, лежащие в одной плоскости, называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Перпендикулярность прямой к плоскости[править | править код]

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна всем прямым, лежащим в этой плоскости.

Признак: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Перпендикулярные плоскости[править | править код]

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

Перпендикулярность плоскостей в 4-мерном пространстве[править | править код]

Перпендикулярность плоскостей в четырёхмерном пространстве имеет два смысла: плоскости могут быть перпендикулярны в 3-мерном смысле, если они пересекаются по прямой (а следовательно, лежат в одной гиперплоскости), и двугранный угол между ними равен 90°.

Плоскости могут быть также перпендикулярны в 4-мерном смысле, если они пересекаются в точке (а следовательно, не лежат в одной гиперплоскости), и любые 2 прямые, проведённые в этих плоскостях через точку их пересечения (каждая прямая в своей плоскости), перпендикулярны.

В 4-мерном пространстве через данную точку можно провести ровно 2 взаимно перпендикулярные плоскости в 4-мерном смысле (поэтому 4-мерное евклидово пространство можно представить как декартово произведение двух плоскостей). Если же объединить оба вида перпендикулярности, то через данную точку можно провести 6 взаимно перпендикулярных плоскостей (перпендикулярных в любом из двух вышеупомянутых значений).

Существование шести взаимно перпендикулярных плоскостей можно пояснить таким примером. Пусть дана система декартовых координат x y z t. Для каждой пары координатных прямых существует плоскость, включающая эти две прямые. Количество таких пар равно (42)=6{\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6}: xy, xz, xt, yz, yt, zt, и им соответствуют 6 плоскостей. Те из этих плоскостей, которые включают одноимённую ось, перпендикулярны в 3-мерном смысле и пересекаются по прямой (например, xy и xz, yz и zt), а те, которые не включают одноимённых осей, перпендикулярны в 4-мерном смысле и пересекаются в точке (например, xy и zt, yz и xt).

Перпендикулярность прямой и гиперплоскости[править | править код]

Пусть задано n-мерное евклидово пространство Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}(n>2) и ассоциированное с ним векторное пространство Wn{\displaystyle W^{n}}, а прямая l с направляющим векторным пространством L1{\displaystyle L^{1}} и гиперплоскость Πk{\displaystyle \Pi _{k}} с направляющим векторным пространством Lk{\displaystyle L^{k}} (где L1⊂Wn{\displaystyle L_{1}\subset W^{n}}, Lk⊂Wn, k<n{\displaystyle L^{k}\subset W^{n},\ k<n}) принадлежат пространству Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

Прямая l называется перпендикулярной гиперплоскости Πk{\displaystyle \Pi _{k}}, если подпространство L1{\displaystyle L_{1}} ортогонально подпространству Lk{\displaystyle L^{k}}, то есть (∀a→∈L1) (∀b→∈Lk) a→b→=0{\displaystyle (\forall {\vec {a}}\in L_{1})\ (\forall {\vec {b}}\in L_{k})\ {\vec {a}}{\vec {b}}=0}

ru.wikipedia.org

Замечательные точки треугольника — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 11 апреля 2020; проверки требуют 3 правки. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 11 апреля 2020; проверки требуют 3 правки.

Замечательные точки треугольника — точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника.

Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не обязательно. В частности, точка пересечения высот может находиться вне треугольника. Другие замечательные точки треугольника см. в энциклопедии центров треугольника.

Центроид — точка пересечения медиан Ортоцентр — точка пересечения высот

Замечательными точками треугольника являются

Минимаксными (экстремальными) точками треугольника называются точки, в которых достигается минимум некоторой функции, например, суммы степеней расстояний до сторон или вершин треугольника[1].

Минимаксными точками треугольника являются:

Изо-точками являются точки треугольника, дающие какие-либо равные параметры трёх треугольников, которые образуются при соединении изо-точки отрезками с тремя вершинами треугольника[3]. В результате образуется фигура типа «глаз дракона» (см. рис.)

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «глаз дракона»[править | править код]

Изо-точками треугольника такого типа являются:

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Трилистник (узел)»[править | править код]

Трилистник(узел) Стилизованный трилистник (узел)

Изо-точками треугольника такого типа являются (см. рис.):

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Цветок традесканции»[править | править код]

Цветок традесканции Стилизованный цветок традесканции

Изо-точки треугольника, образующие фигуру типа «Цветок традесканции» (см. рис.) следующие:

Изо-точки треугольника, образующие знак типа «Модель поверхности криволинейного треугольника» (см. рис.)[править | править код]

К числу таких точек относятся:

Другие изо-точки треугольника, образующие знак типа «Опасно. Радиоактивные вещества или ионизирующее излучение» (см. рис.)[править | править код]

Знак «Опасно. Радиоактивные вещества или ионизирующее излучение»

Изо-точками треугольника такого типа являются:

Изо-прямые[править | править код]

Изо-прямыми (изо-линиями) треугольника являются прямые, которые разрезают данный треугольник на два треугольника, имеющие какие-либо равные параметры[3]. Изо-прямыми треугольника являются:

Замечание об изо-прямых треугольника[править | править код]

В английской литературе вводится понятие бисекции (Bisection), как разделение чего-либо на две равные части. Например равнобедренного треугольника на два равных, отрезка прямой на два равных, плоского угла на два равных. Соответствующие линии будут являться частным случаем изо-прямых (изо-линий) треугольника.

Прямые n{\displaystyle n}[править | править код]

Важным частным случаем изо-прямых являются так называемые прямые n{\displaystyle n} треугольника. Прямая n{\displaystyle n} треугольника, исходящая из его вершины, делит противоположную сторону в отношении n{\displaystyle n}-х степеней прилежащих к ней двух сторон[12]. Важными частными случаями прямых n{\displaystyle n} являются:

Для прямых n{\displaystyle n} треугольника очень просто найти в общем виде некоторые свойства. Например, для прямой n{\displaystyle n} изогонально сопряжённой будет прямая (2−n){\displaystyle (2-n)}, а изотомически сопряжённой будет прямая −n{\displaystyle -n}.

Барицентрические координаты центра, записанные через стороны (или тригонометрические функции углов) треугольника, дают возможность перевести многие задачи о центрах треугольника на алгебраический язык. Например, выяснить, задают ли два определения один и тот же центр или лежат ли три данных центра на одной прямой.

Можно использовать и трилинейные координаты центра, очень просто связанные с барицентрическими координатами. Однако, например, изогонально сопряжённые точки в трилинейных координатах выражаются проще.

Недавно открытые точки (центры) треугольника[править | править код]

  1. Стариков В. Н. Исследования по геометрии. // Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург : сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). — СПб., 2016. — С. 97.
  2. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей (рус.). — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 12, задача.
  3. 1 2 Стариков В. Н. Заметки по геометрии (рус.) // Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки : сборник научных трудов. — Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. — С. 37, левая колонка, последний абзац.
  4. ↑ Isoperimetric Point and Equal Detour Point (англ.).
  5. ↑ Odenhal, 2010, с. 35—40.
  6. Weisstein, Eric W. Kiepert Hyperbola (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  7. ↑ Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. с. 92. параграф 74.
  8. ↑ Мякишев А. Г. Прогулки по окружностям: от Эйлера до Тейлора// Архимед: научно-методический сборник. 2011. Вып. 7. с. 83// https://www.mathedu.ru/text/arhimed_2011_v7/p83/
  9. ↑ Equal Parallelians Point (англ.).
  10. ↑ Kodokostas, Dimitrios (2010), Triangle equalizers, Mathematics Magazine Т. 83 (2): 141–146, DOI 10.4169/002557010X482916 .
  11. Dimitrios Kodokostas. Triangle Equalizers // Mathematics Magazine. — 2010. — Вып. 83, April. — С. 141—146..
  12. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей (рус.). — 2 изд. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 120—125, задача, параграфы 109—113.
  13. ↑ Yff Center Of Congruence
  14. ↑ Gossard Perspector
  15. ↑ Mittenpunkt
  16. ↑ 1ST AND 2ND AJIMA-MALFATTI POINTS
  17. ↑ Apollonius Point
  18. ↑ Bailey Point
  19. ↑ Hofstadter Points
  20. ↑ Congruent Isoscelizers Point
  21. ↑ Morley Centers
  22. ↑ Parry Point
  23. ↑ Isoperimetric Point And Equal Detour Point
  24. ↑ Equal Parallelians Point
  25. ↑ Schiffler Point
  26. ↑ Exeter Point
  27. ↑ Стариков В.Н. 9-е исследование по геометрии (§ Решение задачи о чевиане, разбивающей 3-к на 2 3-ка с одинаковыми вписанными окружностями)// Научный рецензируемый электронный журнал МГАУ "Наука и образование". 2020. № 1. 7 с.// http://opusmgau.ru/index.php/see/issue/ view/1603

ru.wikipedia.org

Треугольник — Википедия

Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. Часть плоскости, ограниченная сторонами, называется внутренностью треугольника: нередко треугольник рассматривается вместе со своей внутренностью (например, для определения понятия площади)[1].

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла, поэтому треугольник можно также определить как многоугольник, у которого имеется ровно три угла[2]. Треугольник является одной из важнейших геометрических фигур, повсеместно используемых в науке и технике, поэтому исследование его свойств проводилось начиная с глубокой древности.

Понятие треугольника допускает различные обобщения. Можно определить это понятие в неевклидовой геометрии (например, на сфере): на таких поверхностях треугольник определяется как три точки, соединённые геодезическими линиями. В n{\displaystyle n}-мерной геометрии аналогом треугольника является n{\displaystyle n}-й мерный симплекс.

Иногда рассматривают вырожденный треугольник, три вершины которого лежат на одной прямой. Если не оговорено иное, треугольник в данной статье предполагается невырожденным.

Стандартные обозначения

Вершины, стороны, углы[править | править код]

Традиционно вершины треугольника обозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A,B,C{\displaystyle A,B,C}, а противолежащие им стороны — теми же строчными буквами (см. рисунок). Треугольник с вершинами A{\displaystyle A}, B{\displaystyle B} и C{\displaystyle C} обозначается как ΔABC{\displaystyle \Delta ABC}. Стороны можно также обозначать буквами ограничивающих их вершин: AB=c{\displaystyle AB=c}, BC=a{\displaystyle BC=a}, CA=b{\displaystyle CA=b}.

Треугольник ΔABC{\displaystyle \Delta ABC} имеет следующие углы:

Величины углов при соответствующих вершинах традиционно обозначаются греческими буквами (α{\displaystyle \alpha }, β{\displaystyle \beta }, γ{\displaystyle \gamma }).

Внешним углом DCA{\displaystyle DCA} плоского треугольника ABC{\displaystyle ABC} при данной вершине C{\displaystyle C} называется угол, смежный внутреннему углу ACB{\displaystyle ACB} треугольника при этой вершине (см. рис.). Если внутренний угол при данной вершине треугольника образован двумя сторонами, выходящими из данной вершины, то внешний угол треугольника образован одной стороной, выходящей из данной вершины и продолжением другой стороны, выходящей из той же вершины. Внешний угол может принимать значения от 0{\displaystyle 0} до 180∘{\displaystyle 180^{\circ }}.

Периметром треугольника называют сумму длин трёх его сторон, а половину этой величины называют полупериметром.

Классификация треугольников[править | править код]

По величине углов[править | править код]

Поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника равна 180∘{\displaystyle 180^{\circ }}, то не менее двух углов в треугольнике должны быть острыми (меньшими 90∘{\displaystyle 90^{\circ }}). Выделяют следующие виды треугольников[2].

По числу равных сторон[править | править код]

Медианы, высоты, биссектрисы[править | править код]

Медианы в треугольнике

Медианой треугольника, проведённой из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Последнее название связано с тем, что у треугольника, сделанного из однородного материала, центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы. Треугольник с вершинами в серединах медиан называется срединным треугольником. Основания медиан данного треугольника образуют так называемый дополнительный треугольник. Длину медианы mc,{\displaystyle m_{c},} опущенной на сторону c,{\displaystyle c,} можно найти по формулам:

mc=122(a2+b2)−c2=12a2+b2+2abcos⁡γ;{\displaystyle m_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}={1 \over 2}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \gamma }};}      для других медиан аналогично.

Высотой треугольника, проведённой из данной вершины, называется перпендикуляр, опущенный из этой вершины на противоположную сторону или её продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника. Треугольник с вершинами в основаниях высот называется ортотреугольником.

Длину высоты hc{\displaystyle h_{c}}, опущенной на сторону c{\displaystyle c}, можно найти по формулам:

hc=bsin⁡α=asin⁡β{\displaystyle h_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta };      для других высот аналогично.

Длины высот, опущенных на стороны. можно также найти по формулам:[3]:p.64

hc=ab2R,ha=bc2R,hb=ca2R{\displaystyle h_{c}={\frac {ab}{2R}},\quad h_{a}={\frac {bc}{2R}},\quad h_{b}={\frac {ca}{2R}}}.
Биссектриса AD{\displaystyle AD} делит пополам угол A{\displaystyle A}

Биссектрисой (биссéктором) треугольника, проведённой из данной вершины, называют отрезок, соединяющий эту вершину с точкой на противоположной стороне и делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности (инцентром).

Если треугольник разносторонний (не равнобедренный), то биссектриса, проведённая из любой его вершины, лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины. Ещё одно важное свойство биссектрисы: она делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим к ней сторонам[4].

Длину биссектрисы lc{\displaystyle l_{c}}, опущенной на сторону c{\displaystyle c}, можно найти по одной из формул:

lc=ab(a+b+c)(a+b−c)a+b=2abp(p−c)a+b{\displaystyle l_{c}={\frac {\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}}{a+b}}={\frac {2{\sqrt {abp(p-c)}}}{a+b}}}, где p{\displaystyle p} — полупериметр.
lc=2abcos⁡γ2a+b{\displaystyle l_{c}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}.
lc=hccos⁡α−β2{\displaystyle l_{c}={\frac {h_{c}}{\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}}};     здесь hc{\displaystyle h_{c}} — высота.

Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, опущенные на основание, совпадают. Верно и обратное: если биссектриса, медиана и высота, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный.

Описанная и вписанная окружности[править | править код]

Треугольник АВС и его окружности: вписанная (синяя), описанная (красная) и три вневписанные (зелёные)

Описанная окружность (см. рис. справа) — окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Описанная окружность всегда единственна, её центр совпадает с точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведённых через середины сторон. В тупоугольном треугольнике этот центр лежит вне треугольника[4].

Вписанная окружность (см. рис. справа) — окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника. Она единственна. Центр вписанной окружности называется инцентром, он совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника.

Следующие формулы позволяют вычислить радиусы описанной R{\displaystyle R} и вписанной r{\displaystyle r} окружностей.

r=Sp,{\displaystyle r={S \over p},} где S{\displaystyle S} — площадь треугольника, p{\displaystyle p} — его полупериметр.
r=(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)4(a+b+c){\displaystyle r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}}}
R=a2sin⁡α=b2sin⁡β=c2sin⁡γ{\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}}
R=abc4S=abc4p(p−a)(p−b)(p−c){\displaystyle R={\frac {abc}{4S}}={\frac {abc}{4{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}},
1r=1ha+1hb+1hc{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}}

где ha{\displaystyle h_{a}} и т. д. — высоты, проведённые к соответствующим сторонам;[3]:p.79

Ещё два полезных соотношения:

rR=4S2pabc=cos⁡α+cos⁡β+cos⁡γ−1;{\displaystyle {\frac {r}{R}}={\frac {4S^{2}}{pabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;}[5]
2Rr=abca+b+c{\displaystyle 2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}}.

Существует также формула Карно[6]:

R+r=ka+kb+kc=12(dA+dB+dC){\displaystyle R+r=k_{a}+k_{b}+k_{c}={\frac {1}{2}}(d_{A}+d_{B}+d_{C})},

где ka{\displaystyle k_{a}}, kb{\displaystyle k_{b}}, kc{\displaystyle k_{c}} — расстояния от центра описанной окружности соответственно до сторон a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b}

ru.wikipedia.org


Смотрите также